Zyklusstabilität

Zyklusstabilität bezeichnet in der Dynamik die Eigenschaft eines Systems, das eine periodische Lösung, einen sogenannten Limitzyklus, unter Störungen zu bewahren oder zu ihm zurückzukehren. Sie ist zentral, wenn das Verhalten von autonomen Systemen durch selbständige, wiederkehrende Schwingungen charakterisiert wird, zum Beispiel in mechanischen Oszillatoren, elektrischen Schaltungen oder biologischen Rhythmusmodellen.

Zur Beurteilung wird oft die Floquet-Theorie herangezogen. Dazu linearisiert man das System entlang der Zyklusbahn und betrachtet die Monodromiematrix (Poincaré-Abbildung) der Periode. Die daraus gewonnenen Floquet-Multiplikatoren μ_i bestimmen die Stabilität. In einem autonomen System ist einer dieser Multiplikatoren aufgrund der Phaseninvarianz gleich 1. Die Zyklusstabilität ergibt sich aus den übrigen Multiplikatoren: Wenn alle nicht-trivialen μ_i eine Modulust von weniger als 1 haben, ist der Zyklus orbital asymptotisch stabil; Trajektorien in dessen Nachbarschaft konvergieren zur Zyklusbahn (bis auf eine Phasenverschiebung). Hält mindestens ein μ_i außerhalb des Einheitskreises, ist der Zyklus instabil. Falls alle Nichttrivialen μ_i den Einheitskreis exakt berühren, spricht man von neutraler Stabilität, was oft durch Oberschwingungs- oder langsame Phasenverschiebungen gekennzeichnet ist.

Zyklusstabilität spielt in vielen Bereichen eine Rolle: bei selbsthungrigen oder auto-zeigenenden Oszillatoren (z. B. Van-der-Pol- oder FitzHugh-Nagumo-Modelle), in der Regelungstechnik, in elektrischen Schaltungen und in biologischen Rhythmen. Bifurkationen wie Hopf können Zyklusbildung oder -auflösung verursachen, wodurch die Stabilität neu bewertet werden muss. Störungen, Rauschen und Parameteränderungen beeinflussen die Robustheit der Zyklusstabilität.