Zustandsübergänge

Zustandsübergänge bezeichnen den Wechsel eines Systems von einem Zustand in einen anderen. Sie treten auf, wenn die Dynamik des Systems, äußere Eingriffe oder Zufallsprozesse den Zustand verändern. Der Zustand wird meist durch einen Vektor, eine Zeichenkette oder eine andere Repräsentation im sogenannten Zustandsraum beschrieben, während Übergänge durch eine Regel, eine Matrix oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festgelegt werden.

In dynamischen Systemen und der Regelungstechnik erfolgt der Übergang oft durch eine Zustandsgleichung. Im diskreten Zeitbereich gilt typischerweise x_{t+1} = f(x_t, u_t) und im kontinuierlichen Fall dx/dt = F(x, t, u). Die daraus resultierenden Trajektorien liefern Einblick in Stabilität, Langzeitverhalten und mögliche Attraktoren des Systems.

In der Automatentheorie modellieren Zustandsübergänge endliche Automaten. Der Übergang wird durch eine Relation δ beschrieben, die je nach Determinismus Q × Σ → Q (deterministisch) oder Q × Σ → P(Q) (nichtdeterministisch) liefert. Zustandsdiagramme verdeutlichen Zustände als Knoten und Übergänge als gerichtete Kanten; solche Modelle ermöglichen die formale Beschreibung von Sprachverarbeitung, Protokollen oder Steuereinheiten.

In stochastischen Prozessen, insbesondere Markovketten, erfolgen Übergänge mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten: P(X_{t+1}=j | X_t=i) = p_{ij}. Die Übergangsmatrix P fasst diese Wahrscheinlichkeiten zusammen, und fertig ausgebildete Strukturen liefern Langzeitverteilungen sowie Erwartungswerte von Aufenthaltszeiten in Zuständen.

In der Quantenmechanik bezeichnen Zustandsübergänge Übergänge zwischen Energiezuständen, ausgelöst durch Wechselwirkungen oder äußere Felder. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus Matrixelementen der Kopplung und zeitabhängiger Störungstheorie; oft wird die Ratenberechnung durch Formeln wie Fermi’s golden rule beschrieben.

Zustandsübergänge finden breite Anwendungen in Physik, Informatik, Chemie und Regelungstechnik und dienen der Modellierung von Dynamik, Informationsverarbeitung, Reaktionswegen und Systemverhalten.