Zelfintersecties

Zelfintersecties zijn punten waar een geometrisch object zichzelf passeert. Voor een plane kromme betekent dit dat er twee verschillende parameterwaarden of twee verschillende takken van de kromme samen op dezelfde locatie uitkomen. In het algemeen gaat het om zogenaamde dubbelpunten van de kromme.

In de algebraïsche meetkunde wordt een zelfingreep vaak een knoop genoemd. Een ordinaire knoop (node) heeft twee distinct tangenten bij het punt, oftewel twee karakteristieke richtingen waarlangs de kromme langs elkaar heen gaat. Een cusp daarentegen is geen zelfintersectie: bij een cusp lopen de takken op dat punt in elkaar, maar raken ze elkaar niet kruiselings. Er bestaan ook hogere orde dubbelpunten, waarbij drie of meer takken elkaar op één punt kruisen.

Veelvoorkomende voorbeelden zijn plane curves met knopen of een figuur-acht-curve (lemniscate). Een lemniscate van Bernoulli vertoont bijvoorbeeld een zelfintersectie in de oorsprong, wat resulteert in een kenmerkende figuur acht.

In de wiskunde hebben zelfintersecties consequences voor de structuur van de kromme. Ze worden gezien als singulariteiten: bij F(x,y)=0 is een dubbelpunt meestal een van de plaatsen waar de gradient van F uitsluitend niet-nul is, en de lokale analytische structuur vereist vaak een normalisatie of een desingularisatie (bijv. blowing up) om de kromme als niet-singulier te beschrijven.

Daarnaast komen zelfintersecties voor in topologie en praktische toepassingen zoals computer graphics en 3D-modellering, waar ze kan leiden tot ongewenste artefacten of, juist, interessante structuur in de vorm van immersies.