Zeitinvarianten

Zeitinvarianten bezeichnen Größen, Funktionen oder Systeme, die unter einer Verschiebung in der Zeit unverändert bleiben. In der Systemtheorie bedeutet Zeitinvarianz, dass das Verhalten des Systems bei einer zeitlichen Verschiebung des Eingangs dieselbe Verschiebung des Ausgangs erzeugt. Formal gilt: Für jeden Eingangs x(t) und jeden τ gilt S[x(t−τ)] = y(t−τ), wobei y(t) der Ausgang ist, der durch S aus x(t) entsteht. Die zugrunde liegenden Gleichungen enthalten keine explizite Abhängigkeit von der Zeit.

Bei linearen zeitinvarianten Systemen (LTI) ergibt sich y(t) = x(t) * h(t) (Faltung), im Frequenzbereich Y(ω) = H(ω)X(ω). Das bedeutet, dass das System durch eine Impulsantwort beschrieben wird und Verschiebungen des Eingangs einfach auf den Ausgang übertragen werden.

Beispiele: Die Verzögerung Dτ: y(t) = x(t−τ) ist eindeutig zeitinvariant. Eine konstante Verstärkung y(t) = k x(t) ist zeitinvariant. Eine zeitabhängige Verstärkung y(t) = a(t) x(t) ist im Allgemeinen nicht zeitinvariant, außer wenn a(t) konstant ist. Eine zeitliche Periodizität von a(t) kann Symmetrie unter bestimmten Verschiebungen zeigen, führt jedoch nicht zur allgemeinen Zeitinvarianz.

Unterscheidung: Zeitinvarianz ist eine Eigenschaft eines deterministischen Systems, während Stationarität eine statistische Eigenschaft eines Prozesses ist (Verteilung bleibt unter Zeitverschiebung gleich).

Anwendungen: In der Physik ist Zeitinvarianz eng mit der Zeittranslationssymmetrie verbunden; Noether-Theorem verbindet Symmetrie mit Erhaltungsgesetzen, etwa Energie.