Zahlenreihenfolgen

Zahlenreihenfolgen, oft einfach Folgen von Zahlen, bezeichnet in der Mathematik eine geordnete Liste von Zahlen, deren Glieder durch einen Index n ∈ N bestimmt werden. Häufig wird eine Folge als a_n geschrieben, mit Gliedern a_1, a_2, a_3, ... Die Glieder können aus dem reellen oder komplexen Zahlenbereich stammen; auch Vektoren oder Funktionen können als Folge interpretiert werden.

Eine Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die Zahlenmenge: a: N → R (oder C). Wichtige Fragen betreffen Grenzwerte und das Verhalten der Glieder für große Indizes.

Konvergenz: Eine Folge {a_n} konvergiert gegen L, wenn für jedes ε>0 ein N existiert, so dass |a_n - L| < ε für alle n ≥ N. Divergent bedeutet, dass kein solcher L existiert. Falls eine Folge gegen L konvergiert, nennen wir L den Grenzwert. Eine Folge wird auch als beschränkt bezeichnet, wenn es M gibt, sodass |a_n| ≤ M für alle n.

Monotonie: Eine Folge ist monoton wachsend, wenn a_n ≤ a_{n+1} für alle n; monoton fallend, wenn a_n ≥ a_{n+1}. Eine monotone und beschränkte Folge konvergiert.

Beispiele: Arithmetische Folge a_n = a_1 + (n-1)d; geometrische Folge a_n = a_1 r^{n-1}. Die Folge a_n = 1/n konvergiert gegen 0; eine geometrische Folge mit |r|<1 konvergiert ebenfalls gegen 0, während |r|>1 divergiert.

Beziehung zu Reihen: Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge, S_N = a_1 + ... + a_N. Die Reihe konvergiert, wenn die Teilersummen S_N gegen einen Grenzwert konvergieren.

Anwendungen: Folgen dienen in Analysis, Numerik und Rekursionsverfahren als Modell zur Annäherung an Grenzwerte und zur Beschreibung von Wachstums- oder Abnahmeprozessen.