Vierdimension

Vierdimension bezeichnet in der Mathematik einen Raum, der vier Koordinaten benötigt. In der häufigsten Form handelt es sich um den vierdimensionalen euklidischen Raum R^4, dessen Punkte als Vektoren (x1, x2, x3, x4) dargestellt werden. Der Abstand zweier Punkte wird durch die Viererentfernung d^2 = x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 bestimmt. Vierdimensionale Räume unterscheiden sich von dreidimensionalen Räumen durch eine zusätzliche Freiheitsgradzahl, was sie geometrisch komplexer macht.

In der Physik wird der Begriff Vierdimensional oft auf die Raumzeit erweitert: drei räumliche Koordinaten plus eine Zeitkoordinate, also (t, x, y, z). In der Speziellen Relativitätstheorie verbindet sich Zeit mit dem Raum zu einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit, beschrieben durch die Minkowskische Metrik. Die Allgemeine Relativitätstheorie verwendet eine gekrümmte vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit dem metrischen Tensor gμν.

In der Geometrie existieren vierdimensionale Polytopes; der Tesserakt ist das 4D-Analogon des Würfels. Weitere regelmäßige Vierdimensionale Polytone sind der 16-Cell, der 120-Cell und der 600-Cell. Solche Objekte werden meist durch Projektionen in drei Dimensionen sichtbar oder durch stereographische Projektionen dargestellt.

Mathematisch gesehen ist R^4 ein vierdimensionaler Vektorraum; jede Basis hat vier Vektoren. Rotationen bilden die Gruppe SO(4); lineare Abbildungen werden durch 4×4-Matrizen beschrieben. Anwendungen finden sich in der Physik, Computergraphik, mehrdimensionaler Datenverarbeitung (vierdimensionale Arrays oder Tensoren) und in der Visualisierung abstrakter Räume.