Verlustverteilungen

Verlustverteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Verlusten oder Schadenbeträgen in Bereichen wie Versicherung, Finanzen und Risikomanagement. Sie dienen der Risikobewertung, der Preisgestaltung von Versicherungsprodukten, der Bildung von Rückstellungen und der Kapitalallokation.

In der Praxis wird oft zwischen der Häufigkeit von Verlusten (Frequency) N und der Schadenshöhe je Schaden X unterschieden. Der Gesamtschaden L in einem Zeitraum ergibt sich aus der Summe der einzelnen Schadenbeträge: L = X1 + X2 + ... + XN. N und die Xi können unabhängig oder abhängig modelliert werden. Die kollektive Risikomodellierung beschreibt die Verteilung von L als Konvolution von N und X.

Häufige Verteilungen werden für Frequenz- und Schadensgrößen verwendet. N wird oft Poisson, Binomial oder Negative-Binomial modelliert; X folgt typischerweise Lognormal-, Gamma-, Pareto- oder Weibull-Verteilungen. Für bestimmte Kombinationen ergeben sich analytische Formeln, andere Fälle erfordern numerische Faltungsverfahren, Panjer-Recursion oder Monte-Carlo-Simulationen. Heavy-tailed Verteilungen spielen eine wichtige Rolle, da sie das Risiko großer Schäden stärker abbilden.

Anwendungen umfassen die Bestimmung von Prämien, Rückstellungen, Solvenzkapital und Risikomaßen wie Value-at-Risk (VaR) oder Tail Value at Risk (TVaR). In der Praxis wird oft das aggregates Risiko-Modell verwendet, bei dem sowohl Häufigkeit als auch Schadenshöhe zur Bestimmung der Risikosummen herangezogen werden.

Daten- und Modellaspekte beeinflussen Ergebnisse maßgeblich. Zensierung, Meldeverzug, Abhängigkeiten zwischen Schäden sowie Modell- und Parameterrisiken erfordern Validierung, Sensitivitätsanalysen und gegebenenfalls Stresstests.