Verdelingsfamilie

Verdelingsfamilie, in de kansrekening en statistiek, is een verzameling kansverdelingen die een gemeenschappelijke functionele vorm delen en enkel verschillen door de parameter θ. Formeel bestaat een verdelingsfamilie uit de functies f(x; θ) met θ in Θ; voor elk θ levert dit een kansdichtheid (voor continue variabelen) of een kansmassafunctie (voor discrete variabelen) op een gemeenschappelijke ondersteuning X. De parameter θ bepaalt welk lid van de familie wordt weergegeven.

Een familie wordt vaak gebruikt om statistische modellen te structureren: gegevens worden gemodelleerd als voortkomend uit een verdelingsfamilie met onbekende θ, die men schat via de waarschijnlijkheidsfunctie L(θ; x) = ∏ f(x_i; θ).

Enkele bekende verdelingsfamilies zijn: de normale familie N(μ, σ^2) met μ en σ^2 als parameters; de Poisson-familie Po(λ) met λ > 0; de binomiale familie Bin(n, p) met p ∈ (0,1); de Bernoulli-familie Bern(p) met p ∈ (0,1).

Veel verdelingsfamilies behoren tot de exponentiële familie, gekenmerkt door densities van de vorm f(x; θ) = h(x) exp{ η(θ)⋅T(x) − A(θ) }. Deze structuur heeft implicaties voor sufficiënte statistieken en conjugate priors.

Praktisch gebruik: verdelingsfamilies laten parametische modellering toe en vormen de basis voor estimatie, hypothesetesten en modelselectie. In de Bayesianistische context worden vaak conjugate priors gekozen die de vorm van de verdelingsfamilie behouden.