Vektorbündeln

Vektorbündel sind geometrische Objekte, die eine Familie von Vektorräumen über einem Basisspace X parametrisieren. Formal bestehen sie aus einer Gesamtmenge E, einer Projektion π: E → X, und einer Typ-Vektorraum-Faser F, typischerweise R^n oder C^n. Die Faser über x ∈ X ist π^{-1}(x) ≅ F. Die lokale Trivialität bedeutet: Für jedes x gibt es eine offene Umgebung U und eine Abbildung ψ: π^{-1}(U) → U × F, die π auf die Projection schiebt und in jeder Faser eine lineare Isomorphie zu F liefert. Die Übergänge zwischen Trivialisationen bilden Funktionen g_{ij}: U_i ∩ U_j → GL(F), die das Cocycle-Kriterium erfüllen. Man spricht von einem Rang-n-Vektorbündel; ein global triviales Bündel ist isomorph zu X × F.

Beispiele: Das Tangentialbündel TX einer glatten Mannigfaltigkeit X; das Dualbündel E*; triviale Bündel X × F; Linienbündel, beispielsweise das Möbius-Band als reales Linienbündel über S^1.

Morphismen und Abschnitte: Ein Morphismus von E nach E' über X ist eine Abbildung, die π'∘Φ = π erfüllt und in jeder Faser linear wirkt. Ein Abschnitt s: X → E mit π∘s = id_X wählt in jeder Faser einen Vektor aus. Die Menge der Abschnitte Γ(X, E) bildet, im glatten Fall, ein Modul über C∞(X).

Struktur und Operationen: Die Strukturgruppe eines n-dimensionalen Vektorbündels ist GL(n, R) bzw. GL(n, C). Isomorphismusklassen von Bündeln werden durch Übergangsfunktionen beschrieben; sie hängen von Cocycle-Klassen ab. Für komplexe Bündel führen Chern-Klassen die Invariante ein; bei reellen Bündeln liefern Stiefel-Whitney- und Pontrjagin-Klassen weitere Invarianten. Zu den grundlegenden Operationen gehören direkte Summe, Tensorprodukt, Dualbündel E*, sowie äußere und symmetrische Potenzen. Vektorbündel spielen eine zentrale Rolle in Geometrie, Topologie und Algebraischer Geometrie, insbesondere bei der Untersuchung von Kurven, Mannigfaltigkeiten und charakteristischen Klassen.