Tensorprodukt

Das Tensorprodukt V ⊗ W zweier Vektorräume V und W über dem Körper F ist ein Vektorraum zusammen mit einer bilinearen Abbildung ⊗: V × W → V ⊗ W, sodass zu jeder bilinearen Abbildung B: V × W → X eine eindeutige lineare Abbildung φ: V ⊗ W → X existiert mit B(v, w) = φ(v ⊗ w) für alle v ∈ V, w ∈ W. Es realisiert die universelle Bilinearität, dass Bilinearabbildungen aus V × W durch lineare Abbildungen aus V ⊗ W faktorisiert werden.

Konstruktion und Dimension: Das Tensorprodukt lässt sich als Quotienten der freien Abbildung der Menge V × W durch die Relationen, die Bilinearität erzwingen, auffassen: (v1+v2) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w, v ⊗ (w1+w2) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2, (αv) ⊗ w = α(v ⊗ w) = v ⊗ (αw). Im endlichen Fall gilt dim(V ⊗W) = dim V · dim W. Sind {vi} eine Basis von V und {wj} eine Basis von W, dann bildet {vi ⊗ wj} eine Basis von V ⊗ W.

Eigenschaften und Beziehungen: Jedes Bilinearbild B: V × W → X faktorisieren über eine eindeutige lineare Abbildung φ: V ⊗ W → X. Es gilt Assoziativität via natürlicher Isomorphien: (V ⊗ W) ⊗ U ≅ V ⊗ (W ⊗ U). Es existiert eine natürliche Vertauschungsisomorphie V ⊗ W ≅ W ⊗ V, die die Kommutativität der Tensorfaktoren in diesem Sinn widerspiegelt. Nicht jede Tensorprodukt-Beziehung ist kommutativ, aber die Struktur ist wohldefiniert und konstant.

Anwendungen und Beispiele: Das Tensorprodukt dient der Darstellung bilinearer Abbildungen als lineare Abbildungen. Es spielt eine zentrale Rolle in multilinearer Algebra, Differentialgeometrie, Quantenmechanik und der Theorie der Moduln. Beispiel: Für V = F^m und W = F^n gilt V ⊗ W ≅ F^{m n}, wobei e_i ⊗ f_j im entsprechenden Basisvektor steht.