Vektorbündel

Ein Vektorbündel über einer Basis M besteht aus drei Bestandteilen: dem Gesamtraum E, der Projektion π: E → M und einer Faser E_x = π^{-1}(x) über jedem Punkt x in M, die mit einer Vektorraumstruktur versehen ist. E wird oft mit einer glatten (oder topologischen) Struktur versehen, sodass E als Mannigfaltigkeit bzw. topologischer Raum betrachtet wird. Die Faser über jedem Punkt ist n-dimensional, und der Rang des Bündels ist die Dimension der Faser.

Lokale Trivialisierung und Strukturgruppe: Es gibt offene Abdeckungen U_i von M und Diffeomorphismen φ_i: U_i × R^n → π^{-1}(U_i), die die Faser als Produkt darstellen. Die Übergangsabbildungen g_ij: U_i ∩ U_j → GL(n, R) beschreiben, wie die lokalen Trivialisationen aufeinandertreffen. Die Übergangsfunktionen erfüllen Konsistenzbedingungen, sodass E global zusammengefügt wird. Real- oder komplexe Vektorbündel verwenden GL(n, R) bzw. GL(n, C) als Strukturgruppe.

Typische Beispiele: Das Tangentialbündel TM eines Mannigfaltigkeitsraums M ist ein Vektorbündel, deren Faser der Tangentialraum T_xM ist. Das Trivialbündel M × R^n ist ein Vektorbündel mit globaler Trivialisation. Das Möbiusband dient als nichttriviales Linienbündel über S^1. Weitere Beispiele umfassen das Normalbündel oder Dual- und Tensorbündel.

Sections und Morphismen: Eine S (oder Abschnitte) s: M → E mit π ∘ s = id_M ist eine Teilmenge von glatten Abbildungen, die Faser-spezifische Vektoren liefern. Bündelmorphismen erhalten Strukturen bilinearer Abbildungen zwischen Bündeln, darunter Dualbündel E*, Tensorprodukte, Direktsummen und Hom-Bündel.

Eigenschaften und Anwendungen: Vector Bundles ermöglichen Definitionen von Verbindungen (glatte Ableitungen von Abschnitten), Krümmung und charakteristischen Klassen (Chern-Klassen für komplexe, Stiefel-Whitney- und Eulerklassen für reale Bündel). Sie spielen eine zentrale Rolle in Differentialgeometrie, Topologie, theoretischer Physik (Gauge-Theorien) und K-Theorie.