Tensorprodukte

Tensorprodukte, im Deutschen oft als Tensorprodukt bezeichnet, sind zentrale Konstrukte der multilinearen Algebra. Gegeben seien ein kommutativer Ring R und zwei R-Module M und N. Das Tensorprodukt M ⊗_R N ist ein R-Modul zusammen mit einer bilinearen Abbildung B: M × N → M ⊗_R N, so dass für jedes R-Modul P und jede bilineare Abbildung B' eine eindeutige R-abbildung φ: M ⊗_R N → P existiert mit φ(B(m,n)) = B'(m,n). Dadurch kernelnd sich jede bilineare Abbildung durch eine lineare Abbildung aus dem Tensorprodukt.

Konstruktion und Eigenschaften: In der Praxis wird M ⊗_R N als Quotienten des freien R-Moduls über M × N gebildet, indem man die Relationen aus Linearität in beiden Komponenten erhebt. Es gelten die Relationen (m1 + m2) ⊗ n = m1 ⊗ n + m2 ⊗ n, m ⊗ (n1 + n2) = m ⊗ n1 + m ⊗ n2 sowie (r m) ⊗ n = m ⊗ (r n) für r ∈ R. Für Vektorräume über einem Körper k bildet V ⊗_k W einen k-Vektorraum; es gilt dim(V ⊗_k W) = dim V · dim W, z. B. k^m ⊗_k k^n ≅ k^{m n}.

Eigenschaften: Der Tensorprodukt ist bifunktorisch in den beiden Argumenten, associerbar (M ⊗_R (N ⊗_R P) ≅ (M ⊗_R N) ⊗_R P) und besitzt natürliche Isomorphismen zwischen vertauschten Faktoren (V ⊗_k W ≅ W ⊗_k V). Er erfüllt eine universelle Eigenschaft, die Bilinearbildungen mit linearen Abbildungen korreliert und macht ihn zu einer linken Adjunkten von Hom.

Anwendungen: Tensorprodukte erscheinen in der multilinearen Algebra, der Differentialgeometrie, der Algebraic-Geometrie und der Physik, unter anderem bei bilinearen Formen, Matrizenprodukten, Tensorfeldern und in der Beschreibung von Wechselwirkungen zwischen Vektorräumen.