Isomorphismusklassen

Isomorphismusklassen bedeuten in der Mathematik die Äquivalenzklassen der Objekte einer Kategorie hinsichtlich der Isomorphie. Zwei Objekte A und B seien isomorph, wenn es eine Abbildung f: A → B gibt, die bijektiv ist und deren Umkehrung g: B → A existiert, so dass g∘f = id_A und f∘g = id_B. Diese Bedingung definiert eine Äquivalenzrelation, sodass die Objekte in disjunkte Isomorphieklassen zerfallen. Jedes Objekt gehört genau zu einer Klasse, und Objekte derselben Klasse werden als „gleichartig“ in der Sinne ihrer Struktur betrachtet.

In der Praxis fixiert man eine Kategorie, zum Beispiel Vektorräume über einem Körper K, Gruppen, Graphen, Ringe oder Module. Die Isomorphieklasse eines Objekts enthält alle Objekte, die durch Isomorphismen strukturell identisch sind. Die Klassen dienen als „Repräsentanten“ der verschiedenen Strukturen, wobei Details der konkreten Darstellung ignoriert werden.

Beispiele zeigen die Vielfalt der Klassenbildung. In der Kategorie Vektorräume über K ist die Isomorphieklasse eines endlichen Vektorraums durch die Dimension bestimmt: alle Vektorräume der gleichen Dimension sind isomorph. Bei endlichen abelschen Gruppen bestimmt sich die Klasse durch die invariantzerlegung; bei Graphen entsprechen Isomorphieklassen ungeordneten Grafen, deren Vertizesrennmuster identisch ist. In vielen Bereichen bleibt die Bestimmung aller Klassen ein schwieriges Klassifikationsproblem, insbesondere außerhalb einfacher Fälle.

Invariantsätze helfen, Klassen zu unterscheiden, etwa Dimension, Ordnung oder Invarianten der Struktur. Die Gesamtheit der Isomorphieklassen bildet eine Art Skeleton der Kategorie, und man wählt oft kanonische Vertreter jeder Klasse.