Isomorphieklasse

Isomorphieklasse bezeichnet in der Mathematik die Klasse aller Objekte einer festen Kategorie, die paarweise isomorph zueinander sind. Zwei Objekte A und B heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus f: A → B gibt, das heißt einen bijektiven Homomorphismus, der die zugrunde liegende Struktur erhält. Die Isomorphierelation ist eine Äquivalenzrelation, wodurch sich die Objekte in Isomorphieklassen aufteilen. Die Isomorphieklasse von A besteht aus allen Objekten, die isomorph zu A sind.

Isomorphieklassen dienen der Klassifikation von Objekten bis auf strukturelle Gleichheit. Statt alle Objekte einzeln zu betrachten, fasst man sie in Klassen zusammen und wählt in jeder Klasse einen Repräsentanten.

Beispiele: In der Gruppentheorie bilden Gruppen nicht notwendigerweise eine einzige Klasse, auch Gruppen mit derselben Ordnung können verschieden isomorph sein; zwei Gruppen G und H sind genau dann isomorph, wenn es eine bijektive Gruppenhomomorphismus φ: G → H gibt. In Vektorräumen über demselben Körper K gilt: Zwei endliche Vektorräume sind isomorph genau dann, wenn ihre Dimensionen gleich sind; daher gibt es eine Isomorphieklasse pro Dimension. In der Modultheorie definieren Isomorphieklassen die Klassen von Modulen, die durch eine bijektive R-Linearabbildung vereinbar sind. Bei endlichen Graphen entspricht die Isomorphieklasse dem Isomorphie-Typ, zwei Graphen sind isomorph, wenn es eine Bijektion der Vertexmenge gibt, die Kantenbeziehungen erhält.

Der Begriff hängt vom Kontext ab und ist damit kontextabhängig; Isomorphismen definieren die relevante Gleichheitsbeziehung in einer Kategorie. Automorphismen eines Objekts bilden die Automorphismengruppe Aut(A).