Typtheorie

Typtheorie is een formeel kader voor wiskunde en informatica waarin elementen worden geclassificeerd op basis van hun type. Types koppelen aan termen beperken wat geldig kan worden toegepast, wat paradoxen voorkomt en een voorwaarde biedt voor formele redenering, typecontrole en automatische verificatie. In tegenstelling tot op zich staande verzamelingen gaat typtheorie uit van constructieve betekenissen van wiskundige objecten en van computationele interpretaties van bewijzen.

Historisch gezien ontstond typtheorie als reactie op paradoxen in de vroege verzamelingsleer. Het idee werd verder uitgewerkt door onder andere de type-theorie van Russell en Whitehead, en later door Alonzo Church met de simpel getypte lambda-calculus. In de jaren zeventig introduceerde Per Martin-Löf afhankelijke typen, waarmee types afhankelijk kunnen zijn van waarden. Dit leidde tot intuïtieve constructivistische wiskunde en de Curry–Howard-rekening, die bewijzen en programma’s via types verbindt. Universums en inductieve types breidden het expressieve vermogen uit.

Belangrijke concepten zijn onder meer: eenvoudig getypte lambda-calculus, afhankelijke types, polymorfisme, universums en inductieve types; daarnaast typechecking, type-inferentie en de constructieve logica die vaak wordt gebruikt in bewijsassistenten. Typetheorie kent uiteenlopende varianten, zoals Martin-Löf-type theorie, het Calculus of Inductive Constructions ( CiC) dat ten grondslag ligt aan Coq, en systemen als Agda en Idris. Een belangrijke moderne stroming is Homotopy Type Theory (HoTT) met het univale axiom, die topologische intuities in een type-theoretische basis plaatst.

Typtheorie vormt een alternatief voor traditionele fundamenten zoals de verzamelingenleer en speelt een cruciale rol in formele verificatie, bewijsvoering en de ontwikkeling van robuuste programmeertalen en proof assistants.