Translationsinvarianz

Translationsinvarianz bezeichnet die Eigenschaft eines Systems, einer Funktion, einer Verteilung oder einer Gesetzmäßigkeit, unter Verschiebungen in Raum oder Zeit unverändert zu bleiben. Sie spielt eine zentrale Rolle in Mathematik, Physik und Datenanalyse.

In der Mathematik bedeutet Translationsinvarianz, dass eine Funktion f: R^n → R die Gleichung f(x + a) = f(x) für alle x und alle Verschiebungen a aus einer vorgegebenen Untergruppe erfüllt. Wird dies für alle a aus ganz R^n verlangt, folgt daraus, dass f konstant ist. Oft spricht man von Invarianz unter einer Untergruppe der Verschiebungen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird von Stationarität gesprochen, wenn die Verteilungen eines stochastischen Prozesses unter Zeitverschiebungen unverändert bleiben. Diese Form der Invarianz gilt häufig für die Verteilungen mehrerer Zeitpunkte (finite-dimensional Verteilungen) und ist eine schwächere Bedingung als absolute Funktionsinvarianz.

In der Physik führt Translation invariance der Gesetze in Raum und Zeit zu Erhaltung des Impulses, formuliert im Noether-Theorem. Die Gleichungen behalten ihre Form, unabhängig vom Ort oder Zeitpunkt der Anwendung.

In der Informatik wird Translationsinvarianz oft angestrebt: Faltungsoperationen in Convolutional Neural Networks liefern eine Form der Translationsinvarianz, da Verschiebungen des Eingabemusters zu ähnlichen Reaktionsmustern führen. Praktisch wird Invarianz durch Pooling oder Datenaugmentation weiter verstärkt.

Beispiele und Grenzen: Eine konstante Funktion ist translationsinvariant. Auf dem gesamten Realen Raum existiert keine endliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die translationsinvariant ist; es handelt sich um eine unendliche Maß- oder Defizit-Situation.

Siehe auch: Symmetrie, Homogenität, Noether-Theorem, Stationarität, Äquivarianz, Faltung.