Faltungsoperationen

Faltungsoperationen, kurz Faltung, bezeichnen in Mathematik, Signalverarbeitung und Bildverarbeitung eine bilineare, assoziative Operation zweier Funktionen oder Sequenzen. Für kontinuierliche Signale f und g definiert man die Faltung als (fg)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t-τ) dτ, vorausgesetzt, die Integrale existieren. Im diskreten Fall mit eindimensionalen Signalen lautet die Definition (fg)[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} f[k] g[n-k], wobei die Summation über passende Indizes durchgeführt wird.

Die Faltung ist kommutativ, also fg = gf, sowie assoziativ und distributiv über Addition. Das Identitätselement ist die Delta-Verteilung δ, da fδ = f gilt.

In linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-Systemen) beschreibt die Faltung die Reaktion eines Systems auf eine Impulsanregung: y = fg, wobei f das Eingangssignal und g die Impulsantwort des Systems ist. Die Faltung verknüpft ferner Zeit- bzw. Raumkorrelation mit dem Systemverhalten.

Durch Faltungstheorie verknüpft sich die Faltung mit Transformationen: Die Fourier-Transformierte der Faltung erfüllt F{fg} = F{f} · F{g}. Damit lässt sich diskrete oder kontinuierliche Faltung oft effizienter mithilfe der FFT rechnen.

Anwendungen liegen in der Signal- und Bildverarbeitung, z. B. bei Glättung, Kantenerkennung oder Filterung. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung entspricht die Faltung der Verteilung einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen.