Toestandsmodellen

Een toestandsmodel is een wiskundig model dat de dynamiek van een systeem beschrijft via een toestand die de belangrijke kenmerken van het systeem opslaat. De toestand evolueert onder invloed van invoer, en samen met die invoer bepaalt de toestand ook de uitvoer van het systeem. Toestandsmodellen worden veel gebruikt in engineering, signaalverwerking, regulering en econometrie, omdat ze een compacte, mathematische beschrijving van tijdsafhankelijke processen bieden.

De standaardvorm is een toestandsruimtemodel. Voor lineaire tijdinvariante systemen kan dit discrete tijd of continue tijd zijn. In discrete tijd luidt het: x_{k+1} = A x_k + B u_k + w_k en y_k = C x_k + D u_k + v_k. In continue tijd: dx/dt = A x + B u + w en y = C x + D u + v. Hier is x de toestandsvector, u de invoer en y de uitvoer; w en v vertegenwoordigen proces- en meetruis.

Niet-lineaire en tijdsvariabele varianten bestaan ook en komen vaak voor in praktijksystemen. Lineaire toestandsmodellen zijn wijdverbreid vanwege hun wiskundige tractabiliteit, maar niet-lineaire en tijd-afhankelijke modellen vereisen geavanceerdere methoden voor analyse en schatting.

Belangrijke eigenschappen zijn onder andere controllability en observability (kunnen we de toestand beïnvloeden of afleiden uit de uitvoer), stabiliteit en identificeerbaarheid (kan een model met bepaalde parameters uit data worden afgeleid). Parameternidentificatie en toestandsschatting zijn kernactiviteiten in de praktijk; kalman-filtering (klassiek Kalman, Extended of Unscented bij niet-lineaire modellen) en particle filtering worden veel toegepast om de toestanden te schatten.

Toestandsmodellen vinden toepassingen in robotica, procescontrole, avionica, financiële tijdreeksen en klimaat- en economische modellering, waar een dynamisch en structureel beschrijving van het systeem van cruciaal belang is.