Tangentruimte

Tangentruimte is de vectorruimte die de richtingen en snelheden van mogelijke krommen op een differentieerbare variëteit M door een punt p beschrijft. Concreet kan T_p M worden opgevat als de ruimte van derivaties aan p, oftewel de velocity vectoren van p door allemaal krommen γ: (-ε, ε) → M met γ(0) = p. Deze opvattingen leveren dezelfde structuur op.

Als M een n-dimensionale differentiaalvariëteit is, dan is T_p M een n-dimensionale vectorruimte. Voor een in R^m ingesloten ondervariante M die gedefinieerd is door f_i(x) = 0, i = 1,...,k en waarvan df_i(p) onafhankelijk zijn, geldt T_p M = { v ∈ R^m | df_i(p)[v] = 0 voor alle i }. Zo beschrijft men de tangentruimte als de vecotoren die de richtingen langs M aangeven.

In coördinaten geeft een kwantitatieve voorstelling met een kaart (U, x) van M het basisveld ∂/∂x^i|_p; deze vectoren vormen een basis van T_p M en T_p M is dan isomorf aan R^n. Het is de lineaire nulruimte van de differentiaal van de coördinatentransformatie op p.

Het geheel van tangentruimtes over alle punten vormt de tangentbundel T M, met een natuurlijke projectie π: T M → M. Een vectorveld assigns aan elk p een element van T_p M. In de geometrie speelt de tangentruimte een cruciale rol bij afleidingen, differentiaaltransformaties (pushforward) en in de definitie van meetkundige structuren zoals een Riemannatische metriek.