Symmetriegroepen

Symmetriegroepen zijn groepen die de symmetrieën van een object of structuur beschrijven. In de wiskunde is een symmetrie een bijectieve transformatie van een verzameling die het object in zijn oorspronkelijke vorm behoudt. De verzameling van alle symmetrieën van een object, onder samenstelling van transformaties, vormt de symmetriegroep van dat object.

Formeel kan men zeggen: laat X een verzameling zijn en G een verzameling transformaties f: X → X waarvan elk f een symmetrie is. De samengestelde transformatie geeft de groepsoperatie, en de identiteit en inverse transformaties zorgen dat de verzameling een groep is.

Belangrijke voorbeelden zijn onder andere de dihedrale groepen D_n, die de symmetrieën van een regelmatige veelhoek beschrijven; D_n heeft orde 2n (n rotaties en n spiegelingen). De symmetriegroep S_n van een n-elemente set beschrijft alle permutaties van die elementen. In de veld van continue symmetrieën spreekt men van Lie-groepen, zoals SO(3) voor rotaties in de ruimte en SU(2) in kwantumtoepassingen.

In de kristallografie onderscheiden men point groups (symmetrieën zonder translatie) en space groups (inclusief translatie). Een object kan door zijn symmetriegroep worden geclassificeerd en bestuderen via concepten zoals groepsactie, orbits en stabilisatoren. Een fundamentele resultante is de Cayley-stelling: elke groep kan worden gezien als een subgroep van de symmetriegroep van een zekere set, oftewel G is isomorf aan een groep van permutaties.

Toepassingen van symmetriegroepen zijn wijdverspreid en terug te vinden in natuurkunde, chemie, beeldvorming en informatica, waar structurele inherentie en gewoontes van symmetrie vaak leiden tot vereenvoudiging en inzicht.