Sonderlösungen

Sonderlösungen sind in der Mathematik Lösungen eines Problems, die nicht in der allgemeinen Lösungsfamilie enthalten sind, die man erhält, wenn man eine Gleichung durch Integration, Parametrisierung oder Umformen löst. Sie unterscheiden sich von den allgemeinen oder bevorzugten Lösungen dadurch, dass sie nicht durch irgendeine Wahl der Parameter der allgemeinen Lösung erzeugt werden können.

In Differentialgleichungen treten Sonderlösungen oft als singuläre oder Grenzlösungen auf. Ein klassisches Beispiel ist die Clairaut-Gleichung y = x y' + f(y'), deren allgemeine Lösung eine Familie Geraden y = C x + f(C) ist. Die Enveloppe dieser Geraden ergibt eine Singularlösung, die nicht Teil der allgemeinen Lösung ist, aber dennoch die Gleichung erfüllt. Solche Sonderlösungen können durch Eliminieren von Parametern oder durch Diskriminantenbedingungen identifiziert werden und entsprechen oft Grenzfällen oder besonderen Randbedingungen.

Sonderlösungen sind nicht auf Differentialgleichungen beschränkt. Sie treten auch bei algebraischen Gleichungen, Systemen mit Einschränkungen oder Optimierungsproblemen auf, wo zusätzliche Bedingungen eine Lösung liefern, die von der üblichen Vorgehensweise nicht abgedeckt wird. Ihre Bedeutung liegt darin, dass sie das gesamte Lösungsspektrum eines Problems vervollständigen und oft physikalische oder boundary-bezogene Zustände repräsentieren.

Zusammenfassend bezeichnet der Begriff Sonderlösungen jene Lösungen, die zwar das Problem erfüllen, aber außerhalb der allgemein abgedeckten Lösungsfamilie liegen. Sie sind wichtig, um das vollständige Lösungsspektrum und mögliche Grenzfälle eines mathematischen Modells zu erfassen.