Skewlinien

Skewlinien, auch Schräglinien genannt, bezeichnen in der dreidimensionalen Geometrie zwei Geraden, die sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Sie liegen nicht in derselben Ebene und besitzen daher keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Definition und Darstellung

Eine Gerade L1 durch den Punkt a mit Richtungsvektor u wird als L1: r = a + t u beschrieben. Eine zweite Gerade L2 durch den Punkt b mit Richtungsvektor v lautet L2: r = b + s v, wobei t und s reelle Zahlen sind. Die Geraden sind Skewlinien, wenn

- u und v nicht parallel sind (u x v ≠ 0),

- der Verbindungsvektor a − b nicht im Spann von u und v liegt, äquivalent (a − b) · (u x v) ≠ 0.

Abstand und gemeinsame Normale

Der Abstand d zwischen Skewlinien ist

d = |(a − b) · (u x v)| / |u x v|.

Der Vektor u x v ist senkrecht zu beiden Richtungen und zeigt in Richtung der gemeinsamen Normalenlinie, die den kürzesten Abstand zwischen den Linien verbindet.

Berechnung der nächsten Berührungspunkte

Um die nächsten Berührungspunkte zu finden, löst man das Gleichungssystem a + t u = b + s v nach t und s. Entsprechende Formulierungen ergeben zwei Gleichungen, die aus der Bedingung herleiten, dass der Verbindungsvektor der Berührungspunkte orthogonal zu u und zu v ist. Daraus erhält man die Punkte a + t0 u und b + s0 v, die durch die gemeinsame Normale verbunden sind.

Eigenschaften und Bedeutung

Skewlinien existieren ausschließlich in drei Dimensionen. Im Allgemeinen gelten drei Möglichkeiten für zwei Geraden: Schnittlinie, Parallele oder Skewlinie. Skewlinien spielen eine Rolle in Kinematik, Computergraphik und der Bauteilplanung, wo Objekte in verschiedenen Ebenen angeordnet sind.