Simplizialkomplexstruktur

Eine Simplizialkomplexstruktur, oft als Simplizialkomplex bezeichnet, ist eine kombinatorische Struktur, die aus einem endlichen Vertex-Satz V und einer Familie K von endlichen Teilmengen von V besteht. Dabei gilt: Wenn sigma in K ist und tau eine Teilmenge von sigma, dann ist auch tau in K enthalten. Die Elemente von K nennt man simplices; die 1‑Elemente davon sind die Knoten, und die Dimension eines simplices sigma ist |sigma| − 1.

Die Struktur wird durch die maximalen Elemente von K bestimmt, die Facetten genannt werden. Die maximale Dimension des Komplexes ergibt sich aus der Dimension der Facetten. Der geometrische Realisierung |K| entsteht, indem man jedes simplex als geometrisches Standard-Simplex interpretiert und sie entsprechend gemeinsamer Unterflächen zusammenklebt. Das Ergebnis ist ein topologischer Raum, der je nach Struktur zusammenhängend oder zerteilt sein kann. Diese Geometrie ermöglicht die Abbildung von abstrakten combinatorischen Beziehungen in den Raum und wird in der Computational Topology oft genutzt.

Beispiele zeigen die Bandbreite der Strukturen. Ein einfacher Graph ohne Dreiecke ist ein 1-dimensionaler Simplizialkomplex mit Vertexmenge {v1, v2, v3} und K = {{v1}, {v2}, {v3}, {v1,v2}, {v2,v3}}. Ein vollständiges Dreieck umfasst zusätzlich das 2‑Simplex {v1,v2,v3}. So entstehen neben Kanten auch Flächen, die zusammen das 2‑Dimensionale Facettenbild bilden.

In der Praxis wird K oft durch seine Facetten gespeichert, oder durch Mechanismen wie Nachbarschaften, Sterne und Links modelliert. In der Algebraic Topology dienen Kette-Gruppen und Grenzoperatoren der Definition von Homologie und verwandten Invarianten, um die topologischen Eigenschaften des Realisats zu untersuchen. Anwendungen finden sich in Mesh-Verarbeitung, Datenanalyse mittels persistenten Homologien und numerischen Verfahren.