Simplizialkomplex

Ein Simplicialkomplex (oder simplicial complex) besteht aus einer Vertexmenge V und einer Familie S von endlichen, nichtleeren Teilmengen von V, wobei gilt: Jede Teilmenge eines Elements von S gehört ebenfalls zu S. Elemente von S heißen Simplexe. Die Dimension eines Simplexes σ ist dim σ = |σ| − 1; ein 0-Simplex ist ein Scheitelpunkt, ein 1-Simplex eine Kante, ein 2-Simplex ein Dreieck usw. Ein Simplicialkomplex wird oft als rein bezeichnet, wenn alle maximalen Simplexe dieselbe Dimension haben; diese maximalen Simplexe nennt man Facetten. Die Vertexmenge V(K) ist die Vereinigung der einzelnen Vertexen, die in den Simplexen vorkommen.

Eine geometrische Realisierung |K| ordnet jedem n-Simplex σ ein n-dimensionales Standard-Simplex Δ^n in einem euklidischen Raum zu, so dass die gemeinsamen Teildimensionen zu entsprechenden Gliederungen zusammengefügt werden. Die Realisierung ermöglicht es, K als zusammengesetzte geometrische Figur zu betrachten. Wichtige Begriffe sind die Dimension des Komplexes, der n-Skelett K^n (Zusammenstellung aller Simplexe mit ≤ n+1 Vertexen) und Unterkomplexe, die durch Teilmengen von S beschrieben werden.

Beispiele: Der vollständige 1-dimensionale Simplicialkomplex über V besteht aus allen 0- und 1-Simplexe (Vertices und Kanten), aber ohne 2-Simplexe. Der Rand eines Dreiecks ist ein 1-skelett eines 2-Simplices, während der gefüllte Dreieck zusätzlich das 2-Simplex enthält. Komplexe können miteinander verknüpft, differenziert oder transformiert werden, z. B. durch baryzentrische Unterteilungen oder Produktionen.

Verwendungszwecke umfassen die kombinatorische Topologie, Homologie- und Homotopietheorie sowie Anwendungen in der Topologischen Datenanalyse, wo aus Punktmengen durch Vietoris-Rips- oder Čech-Komplexe diskrete Modelle von Formen erzeugt werden.