SVDFaktorisierung

Die SVDFaktorisierung, auch als Singulärwertzerlegung (SVD) bezeichnet, zerlegt eine m×n-Matrix A in die Form A = U Σ V^T. Dabei sind U und V orthogonale Matrizen (bei komplexen Matrizen unitär), und Σ ist eine diagonale Matrix mit nichtnegativen Singulärwerten, die in absteigender Reihenfolge angeordnet sind. Die Spalten von U heißen linke Singulärvektoren, die Spalten von V rechte Singulärvektoren. Die singulären Werte geben die verbleibende Energie beziehungsweise Wichtigkeit jeder Dimensionsrichtung wieder.

Die Größen und Eigenschaften der Zerlegung: U ist m×m, V ist n×n und Σ ist m×n, wobei nur die ersten r = Rang(A) Diagonalwerte ungleich Null besitzen. Die Anzahl der Nichtnullwerte entspricht dem Rang der Matrix. Für rechte und linke Singulärvektoren gilt, dass U(:, i) bzw. V(:, i) Vektoren von AA^T bzw. A^T A sind und die Singulärwerte σ_i = sqrt(λ_i) aus den Vielfachheiten der eigenwerte λ_i dieser Matrizen stammen.

Berechnung und Varianten: Die SVD wird durch die Eigenzerlegung von AA^T und A^T A bestimmt. Häufig verwendete Verfahren umfassen die Golub–Kahan-Bidiagonalisierung gefolgt von einer QR- oder dritten-Ordnung-Berechnung. Die „economy“ oder „compact“ SVD liefert eine reduzierte Form, bei der Σ nur die relevanten Diagonalwerte enthält.

Anwendungen: Die SVD dient der dimensionalen Reduktion, Rauschunterdrückung, Datenkompression und Mustererkennung. Durch Trunkierung der k größten Singularwerte erhält man eine approximative Darstellung mit geringerem Rauschen und Speicherbedarf. Die SVD ist eng mit PCA verwandt: bei zentrierten Daten entspricht sie der PCA-Rechnung über die covariance-Matrix. Zudem ermöglicht A^+ = V Σ^−1 U^T die Pseudoinverse, hilfreich bei lösungsproblemen in LGS oder kleineren Restgrößen.

Historisch: Die Grundlagen wurden im 19. Jahrhundert von Beltrami und Jordan entwickelt; der Begriff SVD wurde später verbreitet.