RobinRandbedingungen

RobinRandbedingungen sind eine Form gemischter Randbedingungen für partielle Differentialgleichungen, die eine lineare Kombination aus dem Funktionswert und der Normalableitung auf dem Rand verwenden. In der gebräuchlichen Form lautet die Bedingung auf der Randoberfläche ∂Ω: a(x) u(x) + b(x) ∂u/∂n(x) = g(x), wobei a, b und g gegebene Funktionen bzw. Konstanten sind und a und b nicht gleichzeitig null sein dürfen. Oft werden konstante Koeffizienten verwendet, Generalisierungen mit räumlich variierenden Koeffizienten sind möglich.

RobinRandbedingungen stehen in Beziehung zu Dirichlet- und Neumann-Bedingungen: Wird b = 0, erhält man eine Dirichlet-Bedingung (direkter Wert des Feldes); wird a = 0, erhält man eine Neumann-Bedingung (Normalableitung festgelegt). Robinkonditionen modellieren damit den gemischten Austausch zwischen einem inneren Feldwert und dem Randfluss und erscheinen naturgemäß in vielen physikalischen Modellen.

Mathematisch dienen RobinRandbedingungen der Wellposedness von Randwertproblemen, insbesondere für elliptische Gleichungen wie Poisson oder die Wärmeleitung. Sie können Stabilität und Eindeutigkeit der Lösung gewährleisten, vorausgesetzt, die Koeffizienten erfüllen übliche Regularitäts- und Positivitätsbedingungen. Die Vorzeichen und Größenordnung der Koeffizienten beeinflussen das Verhalten der Lösung.

In der Numerik, insbesondere im Finite-Elemente-Verfahren, erscheinen RobinRandbedingungen als Randbeiträge in der schwachen Form. Sie tragen als Oberflächenintegrale zur Bilinear- bzw. Linearlform bei und modellieren Randübergänge wie Wärmeübertragung, Konvektion oder Strahlung an der Grenzfläche. Dadurch eignen sie sich gut zur Beschreibung von Austauschprozessen mit der Umgebung.

Historisch benannt ist der Begriff nach dem französischen Mathematiker Pierre Robin, der gemischte Randbedingungen in die mathematische Behandlung eingeführt hat.