Ratkaisuavaruus

Ratkaisuavaruus on joukko kaikkien ratkaisuja tietyllä matemaattisella tehtävällä. Se kuvaa, millaisia arvoja tehtävä sallii ja miten ne liittyvät toisiinsa. Termi esiintyy erityisesti lineaarialgebrassa, differen-siaaliyhtälöissä sekä polynomiaalisten yhtälöiden yhteydessä, ja sen tarkka muoto riippuu kontekstista ja käytetystä kentästä.

Lineaarialgebrassa ratkaisuavaruus tarkoittaa kaikkien x:n ratkaisuja tapahtumana Ax = b. Jos b = 0, ratkaisut muodostavat Null(A), joka on alijoukko vektoritilasta ja on subavaruus. Jos b ≠ 0, ratkaisut ovat affiininen alijoukko, joka koostuu yhdestä particular ratkaisusta x_p ja Null(A):n yhdistelmästä. Ratkaisujen olemassaolo ja niiden koolla on yhteys A:n rankiin: dim Null(A) = n − rank(A).

Differentiaalilaskennassa lineaaristen differen- tiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruus voi olla vektoritila tai affi- noitu tilan muotoa. Esimerkiksi n:nnen kertaluvun lineaarisen homogeenisen ODE:n ratkaisut muodostavat n-ulotteisen vektoritilan, ja yleinen ratkaisu on näiden perusar- kaisujen lineaarinen yhdistelmä. Epähomogeenisessa tapauksessa ratkaisut ovat particular ratkaisu plus homogeenisen osan muodostama joukko.

Algebrassa ja geometriassa ratkaisuavaruus voi viitata polynomiaalisten yhtälöiden ratkaisu- joukkoon, joka määrittää usein erilaisia monimutkaisia kuvioita ja variaatioita. Ratkaisuavaruudet voivat vaihdella luvuista ja funktioista riippuen: ne voivat olla yksoitteisia kuten pisteitä, kokonaisiin tai moniulotteisiin avaaruuksiin. Yleisesti niitä tarkastelee lineaarisuuden, kentän sekä rajoitteiden kautta.

Esimerkki: ratkaisuavaruus lineaarijärjestelmässä Ax=b, missä A = [[1,0],[0,0]] ja b = [2,0]. Ratkaisut ovat x = 2, y vapaa, eli ratkaisuavaruus on affiininen jana x = 2, y ∈ R, jonka dim on 1.

---