yhtälöiden

Yhtälö on matemaattinen lause, jossa kaksi ilmaisua on asetettu yhtä suureksi. Yhtälö sisältää usein tuntemattomia muuttujia, joiden arvot pyritään ratkaisemaan. Ratkaisu on joukko arvoja, jotka toteuttavat yhtälön.

Yhtälöitä voidaan luokitella useilla tavoilla. Lineaariset yhtälöt ovat muotoa a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, jossa muuttujien aste on yksi. Polynomiyhtälöt sisältävät muuttujien potensseja, joiden suurin aste voi olla vaihteleva. Järjestelmät koostuvat useista yhtälöistä, joiden ratkaisut määrittävät useiden muuttujien arvot kerrallaan. Identiteetit ovat tapauksia, joissa yhtälö on tosia kaikille arvoille tietyllä määrittelyalueella.

Ratkaiseminen tapahtuu muuttujien arvojen etsimisessä säilyttäen yhtälön pätevyys. Muunnokset tulee olla ratkaisut säilyttäviä, eli ne eivät muuta ratkaisujoukkoa. Yleisimmät menetelmät ovat korvaaminen, eliminointi sekä faktorisointi. Monimutkaisemmissa tapauksissa käytetään matriisimalleja ja Gaussin eliminointia, erityisesti järjestelmien ratkaisemisessa.

Esimerkkejä: lineaarinen yhtälö 3x + 5 = 14 ratkaisee x = 3. Järjestelmä 2x + y = 5 ja x − y = 1 antaa x = 2, y = 1.

Yhtälöt ovat keskeinen väline matematiikassa, luonnontieteissä ja tekniikassa. Ne kuvaavat suhteita tuntemattomien arvojen ja tunnettujen vakioiden välillä, ja niiden ratkaisut tarjoavat määrällisen vastauksen erilaisiin ongelmatilanteisiin.