Polynomiyhtälöt

Polynomiyhtälöt ovat yhtälöitä, joissa tuntematon esiintyy polynominin arvoa. Yleinen muoto on P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, jossa a_n ≠ 0. Tällaisen polynomin nollakohdat eli juuret ratkaistaan asettamalla P(x) = 0. Polynomin aste n kuvaa sen rakenteellista monimutkaisuutta.

Juuret voivat olla reaalilukuja tai kompleksilukuja. Kun polynomin kertoimet ovat reaaleja, kaikki monimutkaiset juuret tulevat konjugoituvina pareina. Algebran peruslauseen mukaan jokaisella polynomilla, jonka aste on n ≥ 1, on täsmälleen n kompleksijuurta laskettuna kertolaskun mukaan.

Ratkaisumenetelmät riippuvat asteesta. Lineaarinen polynomi P(x) = ax + b = 0 ratkaistaan x = -b/a. Toisen asteen polynomille P(x) = ax^2 + bx + c ratkaisu voidaan löytää neliöyhtälön kaavalla x = [-b ± sqrt(b^2 − 4ac)]/(2a). Korkeamien asteiden polynomeilla ratkaisut voivat löytyä faktorisoinnilla, rationaalien juurien säännön avulla tai numeerisesti (esim. bisectionin tai Newtonin menetelmien avulla). Monimutkaisilla polynomeilla käytetään lisäksi asianmukaisia algoritmeja ja tietokoneohjelmia.

Esimerkki: ratkaise P(x) = x^2 − 5x + 6 = 0. P(x) voidaan kirjoittaa muotoon (x − 2)(x − 3), jolloin juuret ovat x = 2 ja x = 3.