vektoritilan

Vektoritiila on matemaattinen rakenne, jossa vektoreita voidaan yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun avulla käsitellä yhdenmukaisesti. Vektoritila over kenttä F määritellään joukoksi V, jossa on operaatiot + (vektorien yhteenlasku) ja · (skalaarikertolasku) niin, että tietyt aksioomat pätevät: yhteenlasku on suljettu, assosiatiivinen ja kommutatiivinen, on nollaelementti ja jokaisella vektorilla on vastavektori; skalaarikertolasku on yhteensopiva kentän kertolaskun kanssa, jakautuu yhteenlaskun yli ja kerrannus ykkösellä säilyttää vektorin.

Tavanomaisia esimerkkejä ovat R^n, polynomifunktioiden avaruus, matriisit ja funktiotietoryhmät. Alitila on vektoritiilan osa, joka itsessään täyttää vektoritiilan aksioomat; alitila muodostuu yleensä sulkeutumisesta liitoksen ja skalaarikertolaskun suhteen.

Keskeisiä käsitteitä ovat lineaarinen riippumattomuus, kanta ja dimensiolla tarkoitetaan kannan alkioiden lukumäärää (tai kardinaalia). Kanta on joukko, jonka lineaariset yhdistelmät tuottavat koko tilan ja jonka alkioista ei mikään ole edellisen lineaarinen yhdistelmä. Lineaariset kuvausfunktiot (lineaarikartat) säilyttävät yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun; bijektiiviset lineaariset kuvaukset ovat isomorfismeja.

Vektoritiilat ovat perustavia lineaarialgebrassa ja niillä on sovelluksia geometriassa, differentiaaliyhtälöissä, funktionaalisessa analyysissä, fysiikassa ja tietojenkäsittelytieteissä.