skalaarikertolasku

Skalaarikertolasku on perusoperaatio lineaarialgebrassa, jossa skalaarin ja vektorin tai matriisin tulo antaa uuden vektorin tai matriisin. Olkoon V vektoriavaruus, jonka skalaarien joukko on kenttä F (yleisimmin reaaliluvut R tai kompleksiluvut C). Sillä kaikille α ∈ F ja v ∈ V määritellään αv ∈ V. Tämä operaatio toteuttaa vektoriavaruuden skalaarikertolaskun: α(u+v) = αu + αv, (α+β)u = αu + βu ja (αβ)u = α(βu). Lisäksi 1v = v. Jos V on normoitua tilaa, pätee ∥αv∥ = |α| ∥v∥.

Matriiseille skalaarikertolasku tarkoittaa, että αA kerrotaan jokainen alkio: (αA)ij = α Aij. Tämä säilyttää matriisin koon ja muodon sekä vaikuttaa kaikkien rivien ja sarakkeiden arvoihin samana määränä.

Geometrisesti skalaarikertolasku kuvaa vektorin tai matriisin koon muuttamista ilman, että sen suuntaa määräävillä lineaarisilla suhteilla on tarvetta muuttaa. Negatiivinen skalaarilukuarvo kääntää vektorin vastakkaiseen suuntaan; nollaskalaarilla tulos on nolla.

Sovelluksia on lukuisia: vektorin mittaaminen, vektorien kombinaatioiden skaalaukset lineaarisissa operaatioissa ja matriisien skaalaukset lineaaristen transformaatioden yhteydessä. Skalaarikertolasku on yksi vektori- ja matriivimuodon perusoperaatioista, ja se on olennaisesti osa monia lineaarialgebran laskutoimituksia.