reaaliluvut

Reaaliluvut (R) ovat matematiikassa lukuja, jotka muodostavat täydellisen järjestetyn kentän ja kattavat sekä rationaaliluvut että irrationaaliluvut. Niillä voidaan suorittaa peruslaskutoimitukset – yhteen-, vähennys-, kertolasku ja jakaminen (jakaminen nollalla ei ole sallittua) – sekä vertailla arvoja. Reaaliluvut toimivat yleisenä lukujen mallina mittauksissa, pituuksissa ja muissa määrällisissä ilmiöissä.

Täydellisyys on reaalilukujen keskeinen ominaisuus: jokainen ei-tyhjä ylärajoitettu joukko reaalilukuja sisältää pienimmän ylärajan, eli supremumin. Tämä ominaisuus mahdollistaa raja-arvojen sekä analyysin ja integraalien perusteiden muodostamisen. Reaaliluvut ovat lisäksi järjestettyjä ja niillä pätee Archimedeen ominaisuus: suuret luvut voidaan tarkastella luonnollisten lukujen avulla.

Rooliltaan reaaliluvut muodostuvat rationaaliluvuista sekä irrationaaliluvuista. Rationalit voidaan esittää murtolukuna tai desimaalilukuna, joka päättyy tai toistaa; irrationaalit kuten pi ja sqrt(2) eivät ole toistuvia desimaaleja. Yhdessä nämä muodostavat reaalilukujen kokonaisuuden, jonka kuvitellaan usein reaaliaakkina tai reaaliakselin lineaarina kuvauksena.

Reaaliluvut voidaan rakentaa usealla tavalla; tunnetuimpia ovat Dedekind-leikkaukset ja Cauchy-jonoista johtuvat konstruktiot. Reaaliluvut merkitään yleisesti R:llä, ja ne muodostavat perusvälineen analyysissä, geometriassa, mittausteoriassa sekä monien muiden matematiikan osa-alueiden tutkimuksessa.