kompleksiluvut

Kompleksiluvut ovat luvut, jotka voidaan esittää muodossa a + bi, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja i on imaginäärinen luku siten, että i^2 = -1. Reaaliosa on a ja imaginäärinen osa on b.

Geometrisesti kompleksiluvut sijoitetaan kompleksilukujen tasolle, jossa x-koordinaatti vastaa reaaliosa ja y-koordinaatti imaginääristä osaa. Kompleksiluvun konjugaatio on z* = a - bi. Moduuli |z| = sqrt(a^2 + b^2) kuvaa etäisyyttä origosta, ja pääargumentti θ määrittelee suunnan; z voidaan kirjoittaa pyöristetyssä muodossa z = r (cos θ + i sin θ) tai z = r e^{i θ}.

Toiminnallisesti kompleksiluvut noudattavat tavallisia laskusääntöjä: lisäys ja vähennys tapahtuvat erikseen real- ja imaginäärisosien mukaan; kertominen tapahtuu kaavalla (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Jakaminen tapahtuu käyttämällä konjugoitua: z1/z2 = (z1 z2*)/|z2|^2, kun z2 ≠ 0. Kompleksiluvut muodostavat kentän, ja jokaisella z ≠ 0 on käänteisluku z^{-1} = z*/|z|^2. Fundamental theorem of algebrain mukaan jokainen ei-constant polynomilla on ainakin yksi kompleksinen juuri.

Käytännössä kompleksiluvut ovat keskeisiä sekä teoriassa että sovelluksissa: ne esiintyvät polynomien juurten tutkimuksessa sekä signaalinkäsittelyssä, Fourier- ja Laplace-muunnoissa, sähkötekniikassa sekä kvanttifysiikassa. Esitystapoina käytetään sekä suoraa muotoa että polaarimuotoa; Eulerin muoto z = r e^{i θ} ja De Moivrein lause helpottavat potenssi- ja juurioperaatioita.