lineaarisuuden

Lineaarisuus on käsite, jota käytetään sekä matematiikassa että sen sovelluksissa. Se kuvaa järjestelmää, funktiota tai operaattoria, joka noudattaa superpositio-periaatetta: lisäyksen ja skaalauksen hallitsemista. Formaali määritelmä koskee vektoriavaruuksia, ja lineaarisen muunnoksen ominaisuudet vaativat f(x+y)=f(x)+f(y) sekä f(c x)=c f(x) kaikille vektoreille x, y ja kaikille skaalareille c. Tällöin f(0)=0 seuraa suoraan.

Lineaarinen muunnos voidaan esittää matriisina: on olemassa matriisi A siten, että f(x)=Ax. Tällainen muunnos täyttää f(x+y)=f(x)+f(y) ja f(cx)=c f(x).

Lineaarisuuden erottaminen affiniteista: funktio g(x)=Ax+b on affiine, mutta ei lineaarinen ellei b=0. Tämä johtuu siitä, että affiniteetissa lisätermillä ei ole nollakohtaa, kun taas lineaarisuus vaatii origon kartoitumisen.

Esimerkkejä ja sovelluksia: lineaariset järjestelmät, differentiaali- ja integraalilaskenta, signaalinkäsittely, fysiikka ja taloustiede hyödyntävät superpositio-periaatetta. Lineaarisuus tarjoaa usein yksinkertaisen ja hallittavan mallin monille ilmiöille, mutta monet todelliset järjestelmät ovat ei-lineaarisia tai lineaarisia vain hyvin pienessä toimintarajassa.