vektoritila

Vektoritila on matemaattinen rakenne, joka koostuu joukosta vektoreita V sekä kahdesta operaatioista: vektorin summasta (+) ja skalaarin kertolaskusta (·). Tila on määritelty yli kentän F, jonka elementtejä käytetään skalaarien kertomiseen. Vektoritila täyttää seuraavat aksiomit: (V,+) on abeliallinen ryhmä, eli yhteenlasku on commutatiivinen ja assosiatiivinen, on olemassa nollavektori 0 ja jokaisella v∈V on vastine -v siten että v+(-v)=0. Skalaarikertolasku on liitännäinen V:n ja F:n välillä ja tyydyttää: a(bv)=(ab)v, a(v+w)=av+aw sekä (a+b)v=av+bv ja 1v=v kaikille v∈V. Näin V muodostaa sekä abelianin lisäysryhmän että F:n skalaarikertolaskun alaisen rakenteen.

Alijätila (subspace) on W⊆V, joka on vektoritila itsessään, jos se on suljettu sekä yhteenlaskun että skalaarikertolaskun alla: jos u,v∈W ja a∈F, niin u+v∈W ja au∈W. Alijätilat ovat tärkeitä, koska ne voivat muodostaa omia vektoritilojaan sisäisesti.

Dimensio ja basis: Tilan dimensio on suurin joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, jotka span(a) tilan. Basis on lineaarisesti riippumaton joukko vektoreita, jonka lineaaristen yhdistelmien kautta kaikki v∈V voidaan esittää. Jos tilalla on finite dimensio n, jokainen v∈V voidaan esittää yksiselitteisesti v = ∑_{i=1}^n α_i b_i, missä b_i ovat basisvektoreita ja α_i∈F. Tila on isomorfinen F^n:iin.

Esimerkkejä: R^n on klassinen vektoritila reaalikentän kanssa; polynomien tila F[x] on usein infinite-dimensionaalinen; jatkuvien funktioiden tila C[a,b] on toinen esimerkki.