Punktschätzung

Die Punktschätzung ist in der Statistik das Verfahren, aus Stichprobendaten einen einzelnen Wert als Schätzung für einen unbekannten Populationsparameter abzuleiten. Typische Parameter sind der Mittelwert μ, der Anteil p, die Varianz σ^2. Ein Punktschätzer T(X) ist eine Funktion der Stichprobe X, die als Schätzer für θ dient. Wichtige Eigenschaften sind Unverfälschtheit (E[T] = θ), Konsistenz (T → θ in Wahrscheinlichkeit, wenn n → ∞) und Effizienz (unter gegebenem Modell minimaler Varianz oder minimaler MSE, z.B. durch die Cramér-Rao-Grenze). Die mittlere quadratische Abweichung MSE = Var(T) + Bias(T)^2 fasst Genauigkeit und Verzerrung zusammen.

Gängige Punktschätzer: X̄ als Schätzer des Populationsmittels μ; p̂ als Schätzer des Anteils p; s^2 als Schätzer der Varianz σ^2 (mit Korrektur). Methoden zur Bestimmung von Punktschätzern sind die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE) und die Momentenmethode; auch Bayes’sche Ansätze liefern Point Estimates wie den Posterior-Modus.

Punktschätzung liefert einen einzelnen Wert und keine Informationen über die Unsicherheit der Schätzung. Zur Quantifizierung der Unsicherheit nutzt man Intervallschätzungen (Konfidenzintervalle) oder Bayes’sche Credible Intervals.

Voraussetzungen sind typischerweise eine zufällige Stichprobe mit Unabhängigkeit und identischer Verteilung der Daten; je nach Modell gelten weitere Annahmen. Punktschätzung ist ein zentraler Baustein der Statistik und bildet oft die Basis für weitere Inferenzschritte und Entscheidungen in Wissenschaft, Wirtschaft und Technik.