Punktschätzer

Punktschätzer bezeichnet in der Statistik ein statistisches Maß, das aus den beobachteten Daten abgeleitete Einzelwert ist und als Schätzung eines unbekannten Populationsparameters dient. Formal ist ein Punktschätzer eine Funktion T(X) der Stichprobe X, die einen Schätzwert θ̂ für den Parameter θ liefern soll. Typische Parameter sind der Mittelwert μ, die Varianz σ² und die Anteilswahrscheinlichkeit p in einer Bernoulli-Verteilung.

Eigenschaften: Ein wichtiger Aspekt ist die Verzerrung (Bias) – ob der Erwartungswert von θ̂ gleich θ ist. Weitere Kriterien sind Varianz und mittlere quadratische Abweichung (MSE). Gute Punktschätzer streben nach Unverzerrtheit (unbiasedness), Effizienz (geringe Varianz) und Konsistenz (θ̂ → θ mit zunehmender Stichprobengröße).

Häufige Punktschätzer: Der Stichprobenmittelwert X̄ schätzt μ; der Stichprobenanteil p̂ schätzt p; die Stichprobenvarianz s² schätzt σ² (mit n-1 im Nenner). Maximum-Likelihood-Schätzer gehören zu einer verbreiteten Klasse, ebenso Schätzer aus der Momentenmethode oder dem kleinsten Quadrate-Verfahren.

Im Gegensatz zu Punktschätzern stehen Intervallschätzungen wie Konfidenzintervalle. Zudem gibt es kein universell überlegenes Verfahren: je nach Verteilung und Zielfunktion kann ein Bias-vorziegender oder Varianz-reduzierender Ansatz sinnvoller sein. Unter Annahmen der Modellierung liefern Punktschätzer zentrale Werkzeuge der Inferenz, doch ihre Eigenschaften hängen stark vom Stichprobenumfang und dem zugrunde liegenden Modell ab.