Proiettivo

Proiettivo es un adjetivo utilizado principalmente para describir aquello relacionado con la geometría proyectiva, una rama de las matemáticas que estudia las propiedades invariantes bajo transformaciones proyectivas. También se emplea en contextos de óptica, visión por computador y gráficos por computadora para referirse a las transformaciones y estructuras que imparten una proyección de espacios superiores a planos o superficies.

En geometría proyectiva, el espacio proiettivo n-dimensional, denotado como espacio proyectivo P^n(K) sobre un cuerpo K, se define como el conjunto de líneas que pasan por el origen en K^(n+1). Los puntos de P^n(K) se representan con coordenadas homogéneas [x0: x1: … : xn], donde el vector (x0, …, xn) se identifica con cualquier múltiplo no nulo. Las transformaciones proyectivas, o collineaciones, se describen con matrices invertibles y se agrupan en PGL(n+1, K); estas transformaciones envían líneas a líneas y conservan la incidencia entre puntos y líneas, pero no necesariamente la proporcionalidad de distancias o paralelismo.

Una propiedad central es que las proyecciones pueden generar puntos de fuga y cambios en la relación de paralelismo, fenómeno que distingue a las transformaciones proyectivas de las afines. En 2D, las transformaciones proyectivas se expresan como matrices 3×3 (homografías) que realizan mapas entre planos, fundamentales en visión por computadora y fotografía para reconstruir o transformar perspectivas.

Las aplicaciones incluyen gráficos por computadora, visión artificial, calibración de cámaras, diseño arquitectónico y teoría algebraica, donde la geometría proyectiva facilita el tratamiento de puntos en el infinito y la generalización de conceptos de linealidad y QED.