Probabiliteitsdichtheid

Probabiliteitsdichtheid, ook wel kansdichtheid genoemd, is een functie f die de kans beschrijft dat een continue kansvariabele X een waarde in een infinitesimaal gebied rondom x aanneemt. Voor alle x geldt f(x) ≥ 0 en ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. De kans dat X in het interval [a,b] ligt, is ∫_{a}^{b} f(x) dx. De bijbehorende cumulatieve verdelingsfunctie is F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt; indien F differentieerbaar is, geldt f(x) = F'(x).

Een densities is wendtelijk gedefinieerd met betrekking tot Lebesgue-maatstaf; sommige verdelingen hebben wel een density (absoluut continu), andere niet (bijv. discrete verdelingen hebben een kansmassa-functie, niet een density ten opzichte van de Lebesgue-maatstaf). Voor continue verdelingen bedraagt de kans op een enkel punt altijd 0: P(X = x0) = 0.

Voorbeelden: de uniforme verdeling op [a,b] heeft f(x) = 1/(b−a) voor x in [a,b], en 0 daarbuiten. De standaardnormale verdeling heeft f(x) = (1/√(2π)) exp(−x^2/2). De exponentiële verdeling met parameter λ heeft f(x) = λ exp(−λ x) voor x ≥ 0, anders 0.

Interessant is ook de multivariate situatie: een tweevoudige density f(x,y) met ∫∫ f(x,y) dx dy = 1; marginals verkrijgt men door integraal over de overige variabelen, en onafhankelijkheid door f(x,y) = f_X(x) f_Y(y).