Potentiaaltheorie

Potentiaaltheorie is een tak van de wiskunde die het gedrag bestudeert van velden die worden gegenereerd door verdelingen van bronnen zoals elektrische lading, massa of warmte. Een centraal begrip is de potentiaal van een maat μ, gedefinieerd via een kern k(x,y), bijvoorbeeld pμ(x) = ∫ k(x,y) dμ(y). In de klassieke context wordt vaak de Newtoniaanse kernel gebruikt: k(x,y) = 1/|x−y|^{d−2} voor d ≥ 3, en k(x,y) = −log|x−y| voor d = 2. Potentiaaltheorie onderzoekt zo de potentiaalfuncties en de velden die zij opleveren.

Een belangrijk deel is de studie van (harmonische) functies: een functie u is harmonic als Δu = 0. Subharmonische en superharmonische functies zijn generalisaties. Eigenschappen zoals de Mean Value Property en het Maximumprincipe leiden tot grensgedrag en regulariteit van oplossingen van de Poisson-vergelijking Δu = f, en van randwaardeproblemen zoals het Dirichlet- en Neumannprobleem. Green's functies geven expliciete representaties van oplossingen.

Belangrijke concepten zijn capaciteit en energie. De energie van een maat μ is E(μ) = ∫∫ k(x,y) dμ(x) dμ(y). Een maat die deze energie minimaliseert onder randvoorwaarden bepaalt de capaciteit van een verzameling. Balayage (afschuimen) is een techniek om potenties te bestuderen onder verdelings- en randvoorwaarden.

Toepassingen bevinden zich in elektrostatica, gravitatie en warmtegeleiding. In de twee-dimensionale context is potentiaaltheorie nauw verweven met complexe analyse via de logaritmische potentiaal; er bestaan ook probabilistische enDiscrete versies van de theorie. Potentiaaltheorie vormt zo een brug tussen analyse, partiële differentiaalvergelijkingen en toegepaste velden.