Positivitätsbedingungen

Positivitätsbedingungen bezeichnen in Mathematik und verwandten Disziplinen Anforderungen, die sicherstellen, dass bestimmte Größen nicht negativ werden. Sie treten in Bereichen wie Analysis, Algebra, Statistik und Physik auf, wo die Positivität eine grundlegende Rolle spielt.

In der Funktionentheorie und Analysis bedeutet Positivität häufig, dass eine Funktion f so beschaffen ist, dass f(x) ≥ 0 für alle x im Definitionsbereich. In der linearen Algebra wird eine Matrix A als positiv semidefinit (A ≽ 0) bezeichnet, wenn x^T A x ≥ 0 für alle Vektoren x, gleichbedeutend damit, dass A hermitesch ist und alle Eigenwerte nicht negativ sind. Das Kriterium von Sylvester besagt, dass alle Hauptminoren von A nicht negativ sein müssen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie müssen Maße und Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht-negativ sein (μ(E) ≥ 0) und die Gesamtmasse gleich 1 sein. In der Quantenmechanik bzw. Quanteninformation sind Dichteoperatoren ρ positiv semidefinit und erfüllen Tr(ρ) = 1.

Positivitätsbedingungen spielen auch in der Momenttheorie (Hankel-Matrizen müssen positiv semidefinit sein), in der Optimierung (Semidefinite Programmierung: Matrixvariablen mit X ≽ 0) sowie in der Kerneltheorie (positive Definitheit eines Kernels).

Weitere Begrifflichkeiten umfassen strikte Positivität (f(x) > 0), Positivität von linearen Funktionalen und die Unterscheidung zwischen Positivität, Semidefinitheit und Definitheit.