Portfoliooptimierung

Portfoliooptimierung bezeichnet in der Finanzwirtschaft den Prozess, Anteile an verschiedenen Vermögenswerten so zu gewichten, dass ein Zielkriterium erfüllt wird, typischerweise eine Balance aus erwarteter Rendite und Risiko. Im klassischen Ansatz wird ein Portfolio so gewählt, dass die Rendite maximiert wird bei einer vorgegebenen Risikogrenze oder das Risiko minimiert wird bei gegebener Rendite.

Mathematisches Framework: Gegeben sind N Vermögenswerte mit erwarteten Renditen μ und Kovarianzmatrix Σ. Die Entscheidungsvariablen sind Gewichte w_i mit Summe 1. Die erwartete Portfoliorendite R_p = w^T μ, das Portfoliorisiko σ_p^2 = w^T Σ w. Typische Optimierungsprobleme: Minimierung von Risiko bei gegebener Rendite, Maximierung der Rendite bei festgelegtem Risiko oder Maximierung der Risiko-adjustierten Rendite.

Zentrale Modelle: Mean-Variance-Optimierung (Markowitz) formuliert als Minimierung von σ_p^2 bei einer Renditeerwartung oder Maximierung der Rendite bei festem Risiko. Erweiterungen: Black-Litterman integriert Marktrend-Views. CVaR-/Tail-Risk-Optimierung fokussiert auf Verlustwahrscheinlichkeit im linken Rand der Verteilungsfunktion. Robuste Optimierung adressiert Schätzunsicherheiten. Mehrperiodige Modelle verwenden dynamische Programmierung oder stochastische Programmierung.

Daten und Implementierung: Schätzung von μ und Σ ist kritisch; oft wird Shrinkage, Faktormodelle, oder historische Daten verwendet. Backtesting und Out-of-Sample-Tests sind üblich. Praxis: Transaktionskosten, Steueraspekte, Beschränkungen wie Long-Only, Rebalancing-Intervalle, Liquidität. Constraint-Handling kann zu quadratischen oder konvexen Programmierungsproblemen werden; häufige Lösungsmethoden: Quadratic Programming, Convex Optimization.

Anwendung und Bedeutung: In Vermögensverwaltung, Pensionsfonds, Hedgefonds; liefert systematisches Rahmenwerk zur Risikosteuerung und Diversifikation; jedoch abhängig von Modellannahmen und Schätzungen; Modellrisiko kann zu suboptimalen Portfolios führen.