Polygonflächen

Polygonflächen bezeichnet jene Flächen, die durch Polygone begrenzt oder aus polygonalen Elementen zusammengesetzt sind. Der Begriff wird in der Geometrie in zwei verwandten Kontexten verwendet: als Bezeichnung einer zweidimensionalen Region in der Ebene, die von einem Polygon eingeschlossen wird, und als Oberflächentyp in der dreidimensionalen Geometrie, der aus polygonalen Elementen besteht (Polygonnetz oder Polygonmesh).

Auf der Ebene bezeichnet ein einfaches Polygon eine geschlossene Folge von Geradenabschnitten, deren Innenraum zusammenhängend ist. Die Fläche eines n-eckigen Polygons lässt sich mithilfe der Shoelace-Formel berechnen; der Umfang ist die Summe der Kantenlängen. Die Summe der Innenwinkel eines einfachen n-Ecks beträgt (n−2)π; konvexe Polygone haben alle Innenwinkel unter π. Jedes Polygon lässt sich durch Triangulation in Dreiecke zerlegen, was Berechnungen erleichtert und Grundlagen für Algorithmen bildet.

Polygonflächen in drei Dimensionen liegen als Netze vor, die aus Scheitelpunkten (Vertices), Kanten (Edges) und polygonalen Flächen (Faces) bestehen. Solche Netze modellieren die Oberflächen von Polyedern oder komplexeren Objekten. Jedes Face ist in der Regel eine Ebene. Für geschlossene Netze konstanter Topologie gilt die Euler-Charakteristik V−E+F=2. Die Netzzqualität hängt von Form, Winkelverteilung und Randkonsistenz ab. In der Praxis werden Polygonflächen in Computergraphik, CAD, GIS und der Finite-Elemente-Methode genutzt, um Oberflächen durch endliche polygonale Elemente abzubilden.

Polygonnetze dienen der Modellierung von Oberflächen in Computergraphik, CAD, GIS und der numerischen Simulation; sie ermöglichen die Annäherung glatter Oberflächen durch Triangulation oder Quadrangulation.