Phasenlinie

Phasenlinie ist ein Diagramm aus der Analyse dynamischer Systeme, das die Entwicklung einer eindimensionalen autonomen Differentialgleichung x' = f(x) grafisch zusammenfasst. Sie dient der qualitativen Bestimmung des Zeitverlaufs von x, ohne eine explizite Lösung der Gleichung zu benötigen. Die Phasenlinie ergänzt das Phasenporträt, das in höheren Dimensionen verwendet wird, und bietet eine kompakte Sicht auf Richtungen der Bewegung und Stabilitäten.

Aufbau und Interpretation: Man bestimmt die Gleichgewichte, indem man f(x) = 0 löst. Entlang der x-Achse zeichnet man Markierungen an diesen Werten. In den Intervallen zwischen den Gleichgewichten gibt man durch Pfeile an, in welche Richtung sich x mit fortschreitender Zeit bewegt: nach rechts, wenn f(x) > 0, nach links, wenn f(x) < 0. Die Stabilität eines Gleichgewichts ergibt sich aus dem Vorzeichenwechsel von f(x) beim Überqueren des Gleichgewichts: von positiv zu negativ bedeutet stabil (x bewegt sich auf das Gleichgewicht zu), von negativ zu positiv bedeutet instabil (das Gleichgewicht wird verfehlt).

Beispiel: Betrachte x' = r x (1 - x/K) mit r > 0. Die Gleichgewichte sind x = 0 und x = K. Auf (-∞,0) gilt f(x) < 0, auf (0,K) f(x) > 0, und auf (K, ∞) f(x) < 0. Daraus folgt: x = 0 ist instabil, x = K ist stabil. Die Phasenlinie liefert damit eine schnelle Einschätzung der langfristigen Dynamik, ohne die Lösung zu berechnen.

Anwendungen und Grenzen: Phasenlinien werden vor allem in der Lehre und bei der Analyse einfacher autonomer Gleichungen verwendet, um Stabilität und Richtungsänderungen zu erkennen. Sie eignen sich weniger für hochdimensionale Systeme oder nicht-autonome Gleichungen, bei denen das vollständige Phasenporträt erforderlich ist.