Pfadmetriken

Pfadmetriken, auch Pfadmetrikkenannt, bezeichnen Metriken, deren Abstand zwischen zwei Punkten durch die minimale Länge aller Pfade zwischen ihnen bestimmt wird. Zentral ist die Idee, dass der Abstand nicht direkt über das Ortsmaß einer gegebenen Metrik definiert wird, sondern über die Länge von Kurven, die die Punkte verbinden.

Formal lässt sich dies wie folgt beschreiben: Sei (X, d) ein Metrierraum. Die Länge einer stetigen Kurve γ: [a, b] → X wird durch L(γ) = sup Σ d(γ(ti), γ(ti+1)) über alle Teilungen a = t0 < t1 < … < tn = b definiert. Die Pfadmetrik d_P wird dann als d_P(x, y) = inf{ L(γ) | γ ist eine Pfad von x nach y }. Allgemein gilt d(x, y) ≤ d_P(x, y); erfüllt die ursprüngliche Metrik diese Gleichung für alle Paare, spricht man von einer Länge- oder intrinsischen Metrik.

Beispiele:

- Euclideaner Raum R^n mit der Standardmetrik: d_P = d; der kürzeste Pfad ist eine Gerade.

- Graphen mit Kantengewichten: d_P entspricht der kürzesten Wegdistanz, also der minimalen Summe der Kantengewichte entlang eines Pfades.

- Riemannsche Mannigfaltigkeiten: d_P entspricht der geodätischen Distanz, gemessen als Länge von kürzesten Geodäten.

- Sub-Riemannsche Geometrien (Carnot-Carathéodory-Metrik) nutzen Pfade, deren Länge durch horizontale Kurven definiert wird.

Eigenschaften: d_P ist eine Metrik, die den Raum als Intrinsikum ausbildet; Geodätische Pfade realisieren oft die Distanz, existieren aber nicht immer, je nach Raumstrukturen und Randbedingungen.

Anwendungen: Pfadmetriken spielen eine zentrale Rolle in der geometrischen Gruppentheorie, der Analysis on metric spaces, in der Robotik (Pfadplanung) sowie in der Netzwerk- und Graphentheorie.