Normvormvergelijking

Normvormvergelijking is een Diophantische vergelijking waarbij de onbekende coëfficiënten in een norm uit een algebraïsche getalveld voorkomen. Men zoekt integers x1, ..., xn zodanig dat de norm van een combinatie van een gekozen Z-basis gelijk is aan een vast geheel getal m. De norm N_{K/Q} van een element α in een getalveld K is de product van zijn conjugaten; bij een Z-basis van het volumeke K wordt N α een volledig polynoom in de x_i met gehele coëfficiënten, de normvorm.

Constructie en formulering: Kies een getalveld K van graad n over Q, met ring van getallen O_K en een Z-basis (ω1, ..., ωn). Voor integers x1, ..., xn geldt α = x1 ω1 + ... + xn ωn en N_{K/Q}(α) ∈ Z. De vergelijking N_{K/Q}(α) = m wordt de normvormvergelijking genoemd, met α afhankelijk van de x_i.

Voorbeelden: In het kwadratische geval K = Q(√d) is N(a + b√d) = a^2 − d b^2, zodat de normvormvergelijking a^2 − d b^2 = m Pell-type vraagt. Voor hogere graad leidt N_{K/Q} tot een polynoom van graad n in de x_i; zulke problemen vallen onder Thue- of normvormvergelijkingen en vereisen Diophantine-methoden.

Toepassingen: Deze vergelijkingen worden gebruikt om gehele getallen te representeren als normen uit K, om elementen met gegeven norm te construeren, en in de studie van priemfactorisatie en eenheidsgroepen in getalruimten. Methoden omvatten coherente reductie, lattice-basisreductie, descente en fasen via factoren in O_K of gelijkvormige Diophantine-benaderingen.