Nietverbonden

Nietverbonden is een term uit de topologie die verwijst naar een ruimt die niet verbonden is. Een topologische ruimte X is niet-verbonden als er twee niet-lege open verzamelingen U en V bestaan met X = U ∪ V en U ∩ V = ∅. Een equivalente formulering is dat er een niet-triviale clopen verzameling C ⊊ X bestaat (een verzameling die tegelijk open en gesloten is in X), waardoor X in twee disjuncte, niet-lege delen kan worden opgesplitst. In dat geval spreken we van een scheiding van X.

In een niet-verbonden ruimte komen ten minste twee componenten voor: de verbonden componenten zijn de maximale subsets van X die verbonden zijn, en X kan als disjuncte vereniging van deze componenten worden geschreven. In het bijzonder kunnen componenten niet per definitie open zijn, maar ze vormen wel de bouwstenen van X op het gebied van verbondenheid.

Voorbeelden illustreren het idee. In R met de gebruikelijke topologie is R \ {0} niet-verbonden, aangezien (-∞,0) en (0,∞) open zijn in R en hun verzamelingen X bepalen, met X = (-∞,0) ∪ (0,∞). Een subruimte zoals [0,1] ∪ [2,3] van R is ook niet-verbonden. De Cantor-verzameling is totaal niet-verbonden (totale disconnectie), en de verzameling van rationale getallen Q is ook niet-verbonden binnen de onderruimte-topologie van R.

Noties als verbondenheid en padverbondenheid zijn verwant maar verschillend: een ruimte kan niet-verbonden zijn zonder path-verbonden te zijn, en een ruimte kan bestaan uit meerdere verbonden componenten die samen X vormen. Een praktische karakterisering is dat X niet-verbonden is als er een niet-triviale functie is van X naar de tweepuntige ruimte {0,1}; de voorstukken van deze functie vormen dan een clopen splitsing van X.