Cantorverzameling

De Cantorverzameling, ook bekend als de Cantor-set, is een klassieke fractale verzameling op de getallenlijn. Ze vormt een bekend theoretisch voorbeeld in analyse en topologie.

Constructie: Begin met C0 = [0,1]. In elke stap verwijder je uit elk overgebleven interval het open middenstuk (a + (b-a)/3, a + 2(b-a)/3). Definieer Cp als de verzamelingen van overgebleven intervallen na p stappen. De Cantorverzameling C is de doorsnede van alle Cp en ligt volledig in [0,1].

Eigenschappen: C is gesloten en begrensd, en dus compact in de reële getallen. Ze heeft geen geïsoleerde punten: elk punt is een accumulatiepunt, zodat C een perfecte verzameling is en volledig ontkoppeld. Ze is nowhere dense en heeft Lebesgue-metingen nul. Desondanks is C ontellbaar (uncountable).

Representatie en varianten: Een lid van C heeft een representatie in basis-3 die uitsluitend cijfers 0 en 2 gebruikt. Omgekeerd bepalen zulke representaties een punt van C. Verder is C homeomorf aan de ruimte van oneindige sequenties van 0 en 1 (met de producttopologie).

Dimensie en generalisatie: De Hausdorff-dimensie van C is log(2)/log(3) ≈ 0,6309. In hogere dimensies kan men Cantorverzamelingen kruisen om Cantor-dust in [0,1]^n te vormen; de dimensie wordt dan n log(2)/log(3). Toepassingen komen voor in fractale geometrie, topologie en dynamische systemen, en ze dienen vaak als counterexample voor vragen over maataanduiding en interioriteit.