Nabijheidsoperators

Nabijheidsoperators (proximity operators) zijn een fundamenteel concept in convex analyse en optimalisatie. Voor een convexe, lager semicontinuous en proper functie f op een Hilbertruimte H definieert de nabijheidsoperator prox_f: H → H de mapping prox_f(x) = argmin_y { f(y) + (1/2)‖y − x‖^2 }. Intuïtief geeft prox_f(x) het punt in de ruimte dat dichtbij x ligt terwijl de waarde van f beperkt blijft.

Eigenschappen: prox_f bestaat voor elke x en is uniek. De operator is firmly nonexpansive, en dus 1-Lipschitz. prox_f kan worden gezien als de resolvent van de subdifferentiële operator ∂f, zodat prox_f = (I + ∂f)^{-1}. De Moreau-decompositie zegt dat voor f en zijn Convex-conjugaat f* geldt x = prox_f(x) + prox_{f*}(x).

Voorbeelden: als f(y) = λ‖y‖_1, dan is prox_f een soft-thresholdingoperator die elke component y_i verlaagt op basis van de drempel. Voor f(y) = δ_C(y) (indicatorfunctie van een convex-set C) is prox_f(x) de projectie P_C(x) op C. Meer ingewikkelde f’s hebben vaak géén gesloten vorm, maar kunnen alsnog numeriek worden berekend.

Toepassingen: nabijheids operators zijn kerncomponenten van splitting-methoden in convex optimalisatie, zoals forward-backward splitting, Douglas–Rachford en ADMM. Ze koppelen kostfuncties en constraints via eenvoudige lokale bewerkingen, waardoor grote probleemklassen efficiënt kunnen worden opgelost.

Zie ook: subdifferentiële calculus, Moreau-decompositie, proximale algoritmen, convex optimalisatie.