Maximumprinzipien

Maximumprinzipien bezeichnet in der deutschen Mathematik eine Gruppe von Prinzipien, die behaupten, dass der maximale oder minimale Wert bestimmter Funktionen unter festgelegten Bedingungen auf dem Randbereich eines Gebietes oder zur Anfangszeit erreicht wird. Sie finden Anwendung in der Analysis, der Potenzialtheorie und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen (PDE).

Im Kontext harmonischer Funktionen gilt das schwache Maximumprinzip: Falls eine Funktion subharmonisch in einem beschränkten Gebiet G ist und bis zum Rand stetig fortgesetzt wird, erreicht das Maximum von u in der abgeschlossenen Fläche oft den Rand von G. Das starke Maximumprinzip besagt, dass, wenn ein Maximum innerhalb von G erreicht wird, die Funktion dort konstant sein muss. Ähnliche Aussagen gelten für parabolische Gleichungen wie die Wärmeleitung, wobei der Wert von u in einer geschlossenen Raum-Zeit-Region durch die Randwerte bestimmt wird. Es existieren auch diskrete Versionen der Prinzipien für numerische Verfahren.

Diese Prinzipien liefern Eindeutigkeitsresultate, a priori Abschätzungen und Vergleichsformen, und sie helfen, das Verhalten von Lösungen in Potentialtheorie, Geometrie und Physik zu kontrollieren. Sie spielen eine zentrale Rolle bei der Konstruktion von Ungleichungen und beim Nachweis von Stabilität von Modellen.

Für nichtlineare PDEs werden Maximumprinzipien oft im Rahmen der Theorie der Viskositätslösungen formuliert. In der numerischen Analysis sichern diskrete Maximumprinzipien, dass die Lösung des Schemas nicht größere Werte annimmt als Rand- oder Anfangsdaten, was Stabilität gewährleistet. In der Optimierung und Regelung treten verwandte Konzepte wie Pontrjagins Maximumprinzip als Prinzip der Optimalität auf; sie gehören thematisch zu einer breiteren Klasse von Extremwertprinzipien, unterscheiden sich jedoch von den klassischen PDE-Maximumprinzipien.

Historisch wurzeln die Ideen in der Potenzialtheorie und wurden im 19. und 20. Jahrhundert in der PDE-Theorie weiterentwickelt.